Находится решение задачи Коши для однородного одномерного волнового уравнения Эта задача описывает свободные колебания неограниченной струны, которой в начальный момент времени были сообщены начальное отклоненте и начальная скорость. Она была решена в .1750 г. французским математиком Даламбером. Формула Даламбера позволяет найти решение задачи Коши в случае, когда заданы начальные условия.

§ 6.1. Задача Коши для однородного одномерного воплнового уравнения

Рассмотрим задачу Коши для однородного одномерного волнового уравнения (уравнения свободных колебаний бесконечной струны):

, (6.1)

(6.2)

(6.3)

где – функция класса

– функция класса

– функция класса .

Общее решение уравнения (6.1) определяется формулой (5.4). Для нахождения решения задачи Коши (6.1) – (6.3) остается определить неизвестные функции и с помощью дополнительных условий (6.2) – (6.3). Для этого подставим (5.4) в (6.2) и (6.3) соответственно

, (6.4)

. (6.5)

Проинтегрируем равенство (6.5) по переменной

. (6.6)

Здесь и – const. Выражения (6.4) и (6.6) образуют систему линейных алгебраических уравнений относительно функций и . Определитель этой системы . Поэтому система имеет единственное решение

(6.7)

Подставляем (6.7) в (5.4) и получаем (следующее)

выражение для решения задачи Коши (6.1) – (6.3)

, (6.8)

где . Это решение единственно, что следует из самого процесса решения задачи. Оно также устойчиво, то есть непрерывно зависит от и . В самом деле, приращение решения при и .Таким образом, решение задачи Коши (6.1) – (6.3) существует, единственно и устойчиво, а это значит, что задача поставлена корректно. Равенство (6.8) называется формулой Даламбера.

В случае полубесконечной струны кроме начальных условий необходимо ещё задать граничное условие, например, в точке Для закреплённой в точке струны это будет граничное условие первого рода

для свободного конца в точке − граничное условие второго рода

и для упругого закрепления в точке − граничное условие третьего рода

П р и м е р 4.1. Используя формулу Даламбера, найдите решение задачи Коши

, .

Р е ш е н и е. Подставим в формулу Даламбера значения функций и и получим искомое решение

П р и м е р 4.2. Используя формулу Даламбера, найдите решение смешанной задачи для однородного волнового уравнения на полупрямой

, , ,

Р е ш е н и е. Эту задачу можно рассматривать, как задачу о малых колебаниях полубесконечной струны. По условию задачи функции , и определены лишь при . Доопределим их при , полагая

Теперь функции , и определены на всей числовой прямой. Проверяем выполнение условия согласования

, .

Полученную задачу для функции можно рассматривать как задачу Коши, решение которой определяется формулой Даламбера

Подставим в полученное выражение значения функций и , ограничившись интересующим нас условием исходной задачи , и получим искомое решение

§ 6.2. Фазовая плоскость

Свойства решения удобно исследовать с помощью фазовой плоскости , которая называется также плоскостью состояний. Характеристиками уравнения (4.1) являются прямые и . Функция сохраняет постоянное значение вдоль характеристики , а функция – вдоль характеристики . Пусть

функции и отличны от нуля в интервале и равны нулю вне этого интервала. Проведем через точки и характеристики и (рис.6.1). Они разбивают верхнюю полуплоскость на три области I, II, III.

Рис. 6.1

Рис.6.2

На интервале будет задано начальное возмущение для функции . При , то есть с ростом , начальное возмущение будет перемещаться в полосе II, то есть , где , будет отличным от нуля только в области II. В областях же I и III . Аналогично для характеристиками, проходящими через точки и , будут прямые и , которые разбивают фазовую

плоскость тоже на три области I, II, III, изображенные на рис.6.2. Функция , где , будет отлична от нуля в полосе II, а в областях I и III . Представим теперь характеристики и , проходящие через точки и на одной фазовой плоскости (рис. 6.3). Они разбивают фазовую плоскость на шесть областей. Состояние процесса в любой точке фазовой плоскости зависит, очевидно, от того в какой из этих областей находится эта точка. Так в областях I, III, V отклонение равно нулю. В области II отклонение вызывается только правой волной, в области IV – только левой волной, а в области VI – и левой, и правой волной вместе.

§ 6.3. Характеристический треугольник

Пусть – некоторая фиксированная точка на фазовой

плоскости (рис.6.4). Проведем через эту точку характеристики. Это будут прямые и . Они пересекаются осью в точках и . Треугольник MPQ называется характеристическим треугольником точки .

Рис. 6.3 Рис. 6.4

Значения функций и остаются постоянными на характеристиках и соответственно. Поэтому), . Следовательно, выражение (6.8) в точке можно представить в виде

откуда следует, что отклонение в точке , то есть в момент времени , зависит от значения начального отклонения в точках и и от значений начальной скорости на стороне . Поэтому начальные данные, расположенные вне , не оказывают влияние на значение в точке . Если начальные данные отличны от нуля на конечном промежутке , то функция в точке будет отлична от нуля, если Ø.

П р и м е р 4.3. Неограниченная струна имеет локальное начальное отклонение в форме квадратичной параболы

(4.126.9)

и начальные скорости всех её точек равные нулю. Найдите формулы, определяющие профиль струны при t > 0 .

Р е ш е н и е . Краевая задача в данном случае представляет собой задачу Коши для однородного одномерного волнового уравнения

, , , (4.136.10)

, , .

Решение задачи находится по формуле Даламбера

В рассматриваемой задаче , поэтому её решение будет иметь вид

Рис. 6.4

Для получения формул, определяющих форму струны при t > 0, рассмотрим разбиение фазовой плоскости (x, t) характеристиками уравнения (6.10) , проведенными из концов интервала (–b, b), на котором, согласно начальному условию (6.9) отклонение отлично от нуля (рис. 6.4). Из рисунка видно, что при t=const достаточно ограничиться двумя характерными случаями:

и .

Рассмотрим каждый из этих случаев в отдельности.

1) t=const , . Тогда при монотонном изменении х от до точка (x, t) фазовой плоскости последовательно

проходит области V, IV, VI, II, I. Профиль струны в этом случае описывается соотношениями:

2) t=const, . При монотонном изменении х от до точка (x, t) фазовой плоскости последовательно проходит области V, IV, III, II, I и профиль струны будет задаваться соотношениями:

П р и м е р 4.4. Найдите решение задачи Коши для одномерного волнового уравнения с начальными данными

Р е ш е н и е. По формуле Даламбера (6.8)

имеем

где

Формулы, определяющие форму струны при t > 0, можно получить тем же способом, что и в примере 4.1. Для этого рассмотрим разбиение фазовой плоскости (x, t) характеристиками уравнения (6.10) , проведенными из концов интервала (–b, b), на котором, согласно начальному условию скорость точек струны отлична от нуля (рис. 6.4). Из рисунка видно, что при t=const достаточно ограничиться двумя характерными случаями:

и .

Рассмотрим каждый из этих случаев в отдельности.

1) t=const , . Тогда при возрастании х от до точка (x, t) фазовой плоскости последовательно проходит области V, IV, VI, II, I. Профиль струны в этом случае описывается соотношениями:

П р и м е р 4.5. Найдите решение задачи Коши для одномерного волнового уравнения с начальными данными

Р е ш е н и е . По формуле Даламбера (6.8)

имеем

§ 6.4. Задачи

6.4.1. Неограниченная струна имеет локальное начальное отклонение в форме треугольника

и начальные скорости всех её точек равные нулю. Найдите формулы, определяющие профиль струны при t > 0 .

4.4.2. Найдите решение задачи Коши для однородного волнового уравнения на прямой

, , ,

, .

№
1	4		0
2	16	0
3	9
4	25	0
5	9		0

4.4.3. Используя формулу Даламбера, найдите решение смешанной задачи для однородного волнового уравнения на полупрямой

, , ,

№
1	1	1	0		0
2	4	0	1	0
3	9	1	1